Загадки бутылки Клейна

Что же представляет собой "бутылка Клейна"?

С точки зрения математики "бутылка Клейна" - это замкнутая (т.е. без края) односторонняя поверхность.

В отличие от обыкновенного стакана, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась.

В отличие от воздушного шара, можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть на самом деле, у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

А с точки зрения физики? Как представить себе, на что похожа поразительная "бутылка" в реальности?

Сравнительная характеристика

бутылки Клейна и листа Мёбиуса

Лист Мёбиуса

Бутылка Клейна

Представим, что по ленте Мёбиуса вышли на встречу друг другу два человека. Но эти люди, при одинаковой скорости движения, никогда не встретятся

Вывод: Лист Мёбиуса является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием.

Ориентируемость

Если будем путешествовать по всем изгибам бутылки и вернемся в ту же точку, откуда отправились, обнаружим, что превратимся в своё собственное зеркальное отображение.

Вывод: Бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием.

Ориентируемость

Изготовление листа Мёбиуса без самопересечений и точек соединения.

Вывод: Лист Мёбиуса существует в трёхмерном пространстве

Существование в трёхмерном пространстве

Оказывается, невозможно построить абсолютно правильную модель бутылки Клейна в нашем трехмерном пространстве, поверхность которой была бы свободна от точек самопересечения, здесь будет наблюдаться пересечение поверхности, что отсутствует в четырехмерном измерении.

Вывод: истинная "бутылка Клейна" может существовать только в четырехмерном измерении!

Существование в трёхмерном пространстве

Односторонность листа Мёбиуса демонстрируется опытом, если окрасить его в любой цвет, с любого места. После закрашивания мы увидели, что весь лист закрашен.

Вывод: Лист Мёбиуса имеет одну сторону

Односторонность

Если мы проследуем взглядом по внешней стороне поверхности, то увидим, что она связана с горлышком и тем самым со всеми частями поверхности. Начиная от верхнего ободка, мы можем, подобно жуку, спуститься вниз по внешней части или вниз в горлышко и тем самым внутрь.

Вывод: Таким образом, мы видим, у бутылки Клейна всего одна сторона.

Односторонность

На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”.

Вывод: Разрывов нет – непрерывность полная.

Непрерывность

Поверхность бутылки Клейна нельзя разделить на внутреннюю и внешнюю. Та поверхность, которая кажется внутренней, непрерывно переходит в ту, которая кажется внутренней, как переходят друг в друга две, на первый взгляд различные "стороны" листа Мёбиуса.

Вывод: Бутылка Клейна также является непрерывной поверхностью

Непрерывность

При изготовлении листа Мёбиуса склеиваем только одну пару краев полоски.

Вывод: Лист Мёбиуса имеет край, т.е. не является замкнутым многообразием

Замкнутость

Если будем делать бутылку из листа бумаги, обе пары краев полоски будут склеены и, следовательно, вся полоска стала одной гранью

Вывод: В отличии от листа Мёбиуса, бутылка Клейна не имеет краев, т.е. является замкнутым многообразием

Замкнутость

При разрезании листа Мёбиуса вдоль по краям получается один единый лист

Связность

А что случится, если мы разрежем бутылку Клейна пополам? Останется ли при этом, как в случае листа Мёбиуса, одна часть, но уже с двумя краями?

Если мы разрежем классическую модель симметрично по центру, то получатся две части странной формы, которые на проверку окажутся листами Мёбиуса: один будет закручен вправо, а другой — влево, так что получаться они будут друг из друга зеркальным отражением